Задачи по теории вероятностей

Задание 1.

В коробке содержится 4 одинаковых занумерованных кубика. Наудачу по одному извлекают все кубики из коробки. Найти вероятность того, что  номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Задание 2.

На отдельных карточках написаны 12 вариантов контрольной работы, которые распределяются случайным образом между 10 студентами, сидящих  водном ряду. Найти вероятность того, что варианты 5 и 10 останутся не использованными.

Задание 3.

Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить 4- е извлечение, если выборки  производится с возвращением.

Задание 4.

Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места. Как измениться вероятность, если он помнит, что эта цифра нечетная?

Задача 5.

Из контейнера, содержащего одинаковое количество деталей 4-х предприятий, взяли на проверку 1 деталь. Какова вероятность обнаружения бракованной продукции, если продукция 2-х предприятий содержит по ¾ бракованных изделий, а вся продукция остальных предприятий доброкачественна?

Задание 6.

Имеется 25 партий однотипных изделий: 10 партий по 10 изделий, из которых 8 стандартных, 2 – нестандартные; 5 партий по 8 изделий, из них 6 стандартных, 2 – нестандартные; 5 партий по 8 изделий,  из них 6 стандартные, 2 - нестандартные; 5 партий по 5 изделий, из которых 4 стандартные, 1 – нестандартно. Из наудачу выбранной партии изымается 1 деталь. Какова вероятность того, что она нестандартна.

Задача 7.

В результате проверки качества приготовленных для посева зерна было установлено, что 80% зерен всхожие. Определить вероятность того, что среди отобранных и высаженных 100 зерен прорастет не менее 70.

Задача 8.

Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность того, что промышленное содержание железа в каждой пробе выше 50%, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди них число проб руды с промышленным содержанием свыше 50% не менее 300.

Задача 9.

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна, 0,005. Составить первые 3 члена закона распределения числа опоздавших среди 1000 пассажиров некоторого поезда. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 10.

Во время технологического процесса брак составляет в среднем 3%. Составить закон распределения числа стандартных изделий среди взятых наудачу 5 изделий этого производства.

Задача 11.

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:            

Требуется найти:

а) значение параметра а;

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание и дисперсию Х;

г) вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (0; 0,5)

Задача 12.

Случайная величина задана функцией распределения

Найти параметр а, вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0,1), математическое ожидание величины Х.

Задача 13.

Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется средним квадратическим отклонением при данной технологии равным 5 мм. Какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98?

Задача 14.

При измерении расстояния до удаленных предметов ошибка подчинена нормальному закону со средним значением 20 и средним квадратическим отклонением, равным 10 м. Определить вероятность того, что измеренное расстояние отклоняется от действительного в ту или иную сторону не более чем на 15 м.

Задача 15.

Дискретная случайная величина задана законом распределения

x

0,3

0,6

p

0,2

0,8

Задача 16.

Вероятность изготовленному прибору удовлетворить стандарту равна 0,9. Используя неравенство Чебышева, оценить наименьшее количество приборов, которые следует отобрать, чтобы доля стандартных приборов отличалась от вероятности 0,9 не более, чем на 0,03 (по абсолютной величине) с вероятностью

Задача 17.

Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y

X

26

30

41

50

2,3

0,05

0,12

0,18

0,04

2,7

0,09

0,30

0,11

0,21

Задача 18.

Задана двумерная плотность вероятности  системы (X, Y) двух случайных величин. Найти постоянную С.